01
QUESTION
탐구의 시작
행렬 곱셈의 계산 방식과 활용에 대한 질문
MATRIX MULTIPLICATION
M이 좌표를 바꾸는 과정
- 01첫째 행x′ 계산
- 02곱해서 더하기내적
- 03둘째 행y′ 계산
M
×
1
0
150
0
1
100
p
=
231
p′
?
?
x′
1 × 2
+
0 × 3
+
150 × 1
=
152
y′
0 × 2
+
1 × 3
+
100 × 1
=
103
첫째 행과 좌표 벡터를 짝지어 계산합니다.
수학 탐구 발표
10229
MATRIX × IMAGE
행렬의 곱셈이
사용되는 곳
01
이미지 처리
좌표 변환으로 이해하는 행렬 곱셈
AFFINE TRANSFORMATION
abc
def
×
xy1
=
x′y′
(0, 0)
(x′, y′)
01 / 발표 순서
오늘 살펴볼 내용
02
CONCEPT
이미지와 행렬
픽셀 좌표, 어파인 변환, 행과 열의 의미
03
SIMULATION
다섯 가지 변환
이동·전단·크기·대칭을 직접 조절하며 비교
04
CONCLUSION
공통 구조 발견
서로 다른 변환을 하나로 묶는 행렬 곱셈
4
CHAPTERS
02 / 탐구 동기
익숙하지만 낯선 계산
행렬의 곱셈은
왜 저렇게 계산할까?
저렇게 계산하면
어디에 활용할 수 있을까?
행렬의 덧셈
1234
+
5678
행렬의 곱셈
( a b c )
·
행 × 열, 곱해서 더하기
xy1
이미지의 좌표 변환에서 이 계산이 가지는 의미를 찾아본다.
03 / 이미지와 좌표
이미지는 좌표를 가진 픽셀의 격자
012…w−1
012⋮h−1
x
y
(2, 2)
이미지는 작은 픽셀로 구성된다.
각 픽셀의 위치는 (x, y)로 나타낸다.
x 오른쪽으로 증가
y 아래쪽으로 증가
가로 w → x = 0 … w−1
세로 h → y = 0 … h−1
컴퓨터에서 자주 쓰는 0-기반 좌표04 / 어파인 변환
두 좌표식을 하나의 행렬로
x′ = ax + by + c
y′ = dx + ey + f
x′y′
=
abde
xy
+
cf
가상의 좌표 1을 추가하면 이동까지 하나의 곱셈으로 묶을 수 있다.
x′y′
=
abcdef
xy1
a, b, d, e 모양과 크기 c, f 위치
05 / 행렬 곱셈과 좌표 계산
각 행이 새로운 좌표 하나를 계산한다
첫째 행
( a b c )
×
xy1
=ax + by + c=x′
첫 번째 변환식 → 새 가로 좌표
둘째 행
( d e f )
×
xy1
=dx + ey + f=y′
두 번째 변환식 → 새 세로 좌표
이번 탐구에서 확인한 의미
행과 열의 성분을 곱해 더하면 여러 좌표 변환식을 같은 행렬 곱셈 구조로 표현할 수 있다.
06 / 이동 변환
모든 픽셀을 같은 거리만큼
AFFINE LAB 01
M =
10150
01100
x′ = x + 150
y′ = y + 100
가로 150px · 세로 100px 이동
a는 가로 이동 거리, b는 세로 이동 거리다.
07 / 가로 전단
y가 커질수록 가로로 더 많이
AFFINE LAB 02
M =
10.30
010
x′ = x + 0.3y
y′ = y
mₓ = 0.3
y가 증가할수록 x 방향 이동량 mxy가 커진다.
08 / 세로 전단
x가 커질수록 세로로 더 많이
AFFINE LAB 03
M =
100
0.310
x′ = x
y′ = 0.3x + y
mᵧ = 0.3
x가 증가할수록 y 방향 이동량 myx가 커진다.
09 / 크기 변환
x와 y 방향의 배율을 각각
AFFINE LAB 04
M =
1.500
01.50
x′ = 1.5x
y′ = 1.5y
가로 1.5배 · 세로 1.5배
sx, sy가 1보다 크면 확대되고 1보다 작으면 축소된다.
10 / 대칭 변환
−1배와 이동을 함께 사용한다
AFFINE LAB 05
M =
−10w−1
010
x′ = w−1−x
y′ = y
w−1, h−1픽셀 좌표가 0에서 시작하기 때문에 마지막 좌표는 크기보다 1 작다.
좌우 대칭 · x′ = w−1−x
좌우 대칭은 x 방향 −1배, 상하 대칭은 y 방향 −1배와 이동을 결합한다.
11 / 결론
다른 변환, 같은 계산 구조
abcdef
→
x′y′
01이동·전단·크기·대칭은 모두 같은 행렬 곱셈 구조로 표현할 수 있었다.
02변환마다 계산 형식이 바뀐 것이 아니라 행렬의 원소가 달라졌다.
03첫째 행은 x′, 둘째 행은 y′를 계산한다.
04행렬 곱셈은 여러 좌표 변환을 하나의 공통 형식으로 표현하고 계산하게 한다.
MATRIX × IMAGE
10229
THE END
감사합니다.
행렬의 곱셈이 사용되는 곳 — 이미지 처리
결론
ONE STRUCTURE
서로 다른 이미지 변환도
같은 행렬 곱셈으로 표현할 수 있다.
abc
def
→
x′
y′
제목
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